Алгебра та початки аналізу

1. 2 * 2 = 5.

А) Нехай a = b + c, тоді 5a = 5b + 5c і 4b + 4c = 4a . Додавши почленно дві останні рівності, дістанемо 4b + 4c + 5a = 5b + 5c + 4a; тепер, віднявши від обох частин по 9а, матимемо: 4b +4c - 4a = 5b + 5c - 5a, або 4 ( b + c - a ) = 5 ( b + c - a ), звідки випливає, що 4 = 5.

B) Нехай b - будь-яке число і a = b+1 (1). Помноживши рівність (1) почленно на ( a - b ), матимемо a2 - ab = ab + a - b2 - b, або a2 + + b2 = 2ab + a - b (2). Підставивши в рівність (2) значення a = 2 і

b = 2, маємо 4 + 4 = 8 + 2 - 2, тобто правильну рівність. Тому й вихідна рівність a = b + 1 буде правильною при a = b = 2, таким чином, 2 = 2 +1, або 4 = 5.

2. Будь-яке число дорівнює своїй половині.

Нехай a = b , або a2 = ab, тоді a2 - b2 = ab - b2, або (a + b)(a - b) = =b (a - b), звідки a + b = b. Оскільки, за умовою a = b, то 2b = b або b = 1/2 b.

3. Усі числа рівні між собою.

Нехай a та b - два довільних числа і a b. Тоді завжди існує число d - середнє арифметичне чисел a i b, тобто

з рівності (1) дістанемо:

Перемноживши рівності (2) і (3), дістанемо

Віднімемо почленно рівність (4) від очевидної рівності d2 = d2, матимемо 4. 0 = 1.

Розглянемо систему рівнянь:

Рівність (1) можна переписати так: (x - y)3 = 0. В силу (2) получаем 13 = 0. Отож маємо: 1 = 0.

5. 4 12.

До обох частин очевидної нерівності 7 5 додамо по (- 8), тоді 7 - 8 5 - 8 , або -1 -3. Тепер, помноживши почленно останню нерівність на (-4), дістанемо (-1)*(-4) (-3)*(-4) , або 4 12.

6. 0 = 4.

Розглянемо нескінчений ряд 4 - 4 + 4 - 4 + ... і обчислимо в різний спосіб його суму S. По-перше, згрупувавши члени по два, дістанемо: (4 - 4) + (4 - 4) + ... = 0. Тепер згрупуємо члени ряда по два, починаючи з другого члена: 4 - (4 - 4) - (4 - 4) - ... = = 4. Оскільки S = 0 i S = 4, то 4 = 0.

7. Доведемо методом математичної індукції твердження: у всіх кішок очі одного і того самого кольору.

Для n =1 (одна кішка) твердження очевидно справджується.

Припустимо, що твердження правильне для n, тобто, що будь-які n кішок мають однаковий колір очей. Доведемо, що воно правильне і для n+1. Візьмемо довільну сукупність із n+1 кішок і пронумеруємо їх. За індуктивним припущенням кішки з номерами від 1 до n мають однаковий колір очей, кішки з номерами від 2 до (n + 1) (їх також n штук) теж мають один і той самий колір очей. В обидві множини входить, наприклад кішка номер 2. Тому у всіх (n = 1) кішок очі одного кольору. Такий результат викликає заперечення, але хіба можна встояти перед силою неспростованих висновків математичної логіки?

Відповіді, розв'язання